Grado 9 - Geometría 

Periodo 4

DBA 7. Interpreta el espacio de manera analítica a partir de relaciones geométricas que se establecen en las trayectorias y desplazamientos de los cuerpos en diferentes situaciones. 

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

• Explicar la diferencia entre el producto escalar y el producto vectorial de dos vectores.
• Determinar el producto escalar de dos vectores.
• Determinar el producto vectorial de dos vectores.
• Describir cómo se utilizan los productos de vectores en física.

Indicador de evaluación

Realiza operaciones con vectores aplicándolo a la vida diaria.

Conocimientos previos:

1.  Triangulos rectángulos

2. Teorema de pitágoras

VECTORES

En física, se llama vector a un segmento de recta en el espacio que parte de un punto hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido. Los vectores en física tienen por función expresar las llamadas magnitudes vectoriales.

El término vector proviene del latín vector, vectoris, cuyo significado es 'el que conduce', o 'el que transporta'  

Un vector es la representación gráfica de una magnitud física con forma de una flecha la cual posee una magnitud una dirección y un sentido. Los vectores se denotan por una sola letra en minúscula ejemplo: 

o con las letras de sus extremos: 

Los vectores se representan gráficamente con una flecha. Asimismo, cuando deben ser expresados en una fórmula, se representan con una letra coronada por una flecha. 

Los componentes de los vectores que definen sus características son los siguientes: 

Módulo o magnitud: se refiere a la longitud o amplitud del vector o segmento de recta. 

Dirección: se refiere a la inclinación que posee el vector con respecto a un eje horizontal imaginario, con el cual forma un ángulo. 

Sentido: se refiere a la orientación del vector, indicado por la cabeza de la flecha del vector. 

Te invito a observar estos elementos en el siguiente enlace: (El docente te va a realizar preguntas)

https://www.geogebra.org/m/DeYVjAMz 

TIPOS DE VECTORES

Vectores nulos: son aquellos donde origen y extremo coinciden y, por lo tanto, el módulo o magnitud es igual a 0. Por ejemplo: 

Vectores unitarios: son aquellos cuyo módulo es igual a 1. Por ejemplo: 

Vectores fijos: son aquellos que expresan un punto de origen además de un extremo, el cual está determinado en un punto fijo del espacio. Suelen usarse, por ejemplo, para expresar la fuerza aplicada sobre dicho punto. Para representarlos, se dice que el punto de origen es A y el extremo es B. Por ejemplo: 

Vectores paralelos: están situados en rectas paralelas, pero poseen un mismo sentido o contrario. Por ejemplo: 

Vectores opuestos: se caracterizan por tener la misma dirección y magnitud, pero su sentido es opuesto. Por ejemplo:

Vectores concurrentes o angulares: son aquellos cuyas líneas de acción pasan por el mismo punto, es decir, se intersecan. Por ejemplo: 

Vectores COPLANARES: La idea de coplanar alude a los puntos que se hallan en el mismo plano (es decir, se trata de puntos coplanares). Cuando el punto no pertenece a dicho plano, se lo considera no coplanario respecto a los demás. 

VECTORES SIN PUNTO DE APLICACIÓN - LIBRES

Vectores equipolentes o iguales: son aquellos vectores con igual módulo, dirección y sentido. Por ejemplo: 

Vectores libres: son aquellos vectores cuyo punto de aplicación es indeterminado y, por lo tanto, libre. Se denomina vector libre al conjunto de vectores fijos equipolentes a uno dado. Por ejemplo: 

Vectores Colineales: Sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta.

Vectores axiales o pseudovectores: son los que están ligados a efectos de giro. La dirección señala el eje de rotación del segmento. Por ejemplo: 

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA.

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 w más 20 w son 30 w de potencia. Por el contrario, para sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido. Conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector. Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráficamente. Ejemplo: Supongamos que tenemos los vectores  

Para conocer el vector suma 𝐴 + 𝐵⃗ sólo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes 𝑋 y las componentes 𝑌: 

EJEMPLO:

Suma de vectores colineales

Cuando la línea de acción de estos es la misma o paralelas, se ejecutan algebraicamente teniendo en consideración los sentidos. 

EJEMPLO:

Calcular el modulo de la resultante cuyos módulos son de A=5u y B=3u. 

Método del paralelogramo: El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores. 

Primero se dibujan ambos vectores (𝑎 𝑦 𝑏⃗ ) a escala, con el punto de aplicación común. 

Segundo, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos. 

Tercero, el vector suma resultante (𝑎 +𝑏⃗ ) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales. 

La fórmula del módulo del vector resultante es: 

EJEMPLO:

Calcular la resultante de los siguientes vectores: 

Método del rectángulo: El método del rectángulo es muy similar al del paralelogramo, la diferencia radica es que los vectores hacia la izquierda y hacia abajo son negativos. Los que van hacia la derecha y hacia arriba son positivos.

EJEMPLO:

Se tienen los vectores A, B, C y D inscritos en un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 10 cm. Calcular el módulo del vector resultante. 

Te invito a reforzar el tema de suma de vectores y a adelantar tema con la resta viendo el siguiente video:

Te invito a practicar sumando vectores mediante el juego en el siguiente enlace:

https://www.cokitos.com/suma-de-vectores/play/ 

EJERCICIO 1:

1. Se tienen tres vectores A, B y C colineales y paralelos, cuyos módulos son: 3u, 4u y 10u respectivamente. Calcular el módulo del vector resultante. 

2. Dos vectores concurrentes forman 120° entre sí. Calcular el módulo del vector resultante, siendo A=8u; B=2u 

APLICACIÓN DE VECTORES A LA GEOMETRÍA

Los vectores se aplican en la geometría de diversas formas, como para representar puntos, líneas, planos, y para resolver problemas:

• Representación de puntos: La forma vectorial permite representar un punto en el espacio como un vector. Por ejemplo, un punto P se representa como el vector →OP, que es la línea vectorial que conecta el origen O con el punto P.
• Representación de líneas y planos: La forma vectorial se usa para representar líneas y planos en un espacio tridimensional.
• Solución de problemas: Los vectores se pueden usar para resolver problemas en geometría analítica, como el teorema de Ceva o el vector bisectriz en un triángulo.
• Representación de fuerzas: En física, los vectores se usan en el plano cartesiano para representar la combinación de fuerzas. Los vectores permiten representar fuerzas contrapuestas porque señalan la dirección.

Geométricamente, un vector se representa como un segmento de línea dirigido, es decir, una flecha. La punta de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha describe su magnitud.  

EJEMPLO1:

Primero haremos un argumento de geometría sintética. El gravicentro es por definición el punto de intersección de las medianas de un triángulo. Si L es el punto medio de QR y M es el punto medio de RP, entonces X es el punto de intersección de PL y QM. Tenemos que

Esto termina la solución del problema. 

EJEMPLO2:

Producto punto, norma y ángulos

Para dos vectores P=(x,y) y Q=(w,z) definimos su producto punto como la cantidad P⋅Q=xw+yz. El productos puntos es:

• Conmutativo: P⋅Q=Q⋅P
• Abre sumas: P⋅(Q+R)=P⋅Q+P⋅R
• Saca escalares: (rP)⋅Q=r(P⋅Q).

EJEMPLO: