POLINOMIOS ARITMÉTICOS EN LOS ENTEROS

Algunas veces es necesario combinar varias operaciones en la misma expresión. A estas expresiones que combinan números naturales mediante varias operaciones se denominan polinomios aritméticos

Ejercicio:

En la vida cotidiana utilizamos polinomios aritméticos para solucionar situaciones sencillas como la siguiente: Don Luis hizo un pedido de empanadas para vender en la cafetería escolar: El primer día, se pidieron 350 empanadas. El segundo día 132 empanadas más que el primero, ye el tercer y último día, 35 empanadas menos que el segundo día. ¿Cuántas empanadas se pidieron en total? 

Solución:

Para resolver esta situación se plantea una expresión que muestre la cantidad de empanadas que don Luis va a pedir para la cafetería en los tres días: 

ORDEN EN LA SOLUCIÓN DE POLINOMIOS

1. Definición y Reglas Básicas

El principio básico detrás del orden de operaciones es procesar las expresiones matemáticas de manera ordenada y predecible. Por ejemplo, los paréntesis indican operaciones que deben realizarse primero, una regla que previene ambigüedades en expresiones complejas. Los exponentes se evalúan a continuación, dado que representan operaciones repetidas y su cálculo incorrecto puede llevar a grandes desviaciones en los resultados. La multiplicación y la división siguen después. Y finalmente, se realizan las operaciones de adición y sustracción. Este orden asegura que independientemente de quién realice el cálculo, el resultado será el mismo, siempre y cuando se siga la misma secuencia operacional. 

2. Notación Matemática y Símbolos

La notación en matemáticas es una forma de escribir números y símbolos. Y también implica una guía implícita sobre cómo proceder con los cálculos. Por ejemplo, la disposición de los paréntesis puede cambiar completamente el resultado de una operación matemática. Además, el uso de fracciones, radicales y otros operadores también afecta el orden en el que se deben realizar las operaciones. Entender y aplicar correctamente estas notaciones es determinante para evitar malinterpretaciones y errores en los cálculos complejos.

3. Errores Comunes y sus Consecuencias

Uno de los errores más comunes en matemáticas es ignorar el orden de operaciones. 

Por ejemplo, en la operación 3+2×5, si se realiza primero la suma antes que la multiplicación, el resultado sería 25 en lugar del correcto 13. Este tipo de error puede parecer menor en cálculos sencillos. Pero en contextos más complejos, como en la evaluación de funciones algebraicas o en el cálculo diferencial, un error simple puede llevar a conclusiones completamente erróneas.

Otro error frecuente es el mal uso de los paréntesis, lo que puede alterar significativamente el orden pretendido de las operaciones. Llevando a resultados incorrectos que en el contexto de la ingeniería o la física, por ejemplo, podrían tener implicaciones críticas.

Desarrollar el problema anterior siguiendo el proceso. 

1. Resolver el polinomio:

350 + (350 + 132) + (315 + 132) - 35 

Solución: 

Se resuelve en forma vertical 

Eliminamos paréntesis:

= 350 + 482 + 482 - 35 

Efectuamos las sumas:

= 1314 - 35

Se efectúa la resta:

= 1279 

SOLUCION DE POLINOMIOS ARITMETICOS 

Al resolver un polinomio se deben resolver las operaciones en el siguiente orden: 

1. Las operaciones indicadas entre signos de agrupación, si los hay 

2. Las potencias, las raíces y los logaritmos 

3. Las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen de izquierda a derecha 

4. Las adiciones y sustracciones en el orden que aparezcan de izquierda a derecha 

EJEMPLOS (Se sugiere ver previamente los videos propuestos): 

EJEMPLO 1:  5 x 6 ÷ 2+ 15 ÷ 3 x 4 – 6 

Teniendo en cuenta el orden para resolver las operaciones en un polinomio aritmético, siempre de izquierda a derecha, primero se resuelven potencias, raíces o logaritmos, como en este polinomio no existen continuamos con multiplicaciones o divisiones, de izquierda a derecha, por lo tanto, la primera operación es una multiplicación, luego dos divisiones, una multiplicación y una suma, para terminar, se realiza la resta, así: 

EJEMPLO 2: (5 – 2) ÷ 3 + (11 – 5) ÷ 2

Para solucionar el polinomio con signos de agrupación, primero se efectúan las operaciones encerradas entre los signos de agrupación, para reemplazarlos por su valor. luego se efectúan las operaciones que quedan indicadas, como en el caso anterior: 

(5 – 2) ÷ 3 + (11 – 5) ÷ 2 

= 3 ÷ 3 + 6 ÷ 2     Resolvemos multiplicación y división

= 1 + 3                   Sumamos y restamos

= 4                     

EJEMPLO 3: Utilizando potenciación y radicación

Para solucionar polinomios aritméticos con varios tipos de signos de agrupación; paréntesis (), corchetes [] o llaves {}, se va resolviendo de izquierda a derecha teniendo en cuenta el orden de las operaciones y el orden en que se van eliminando los signos de agrupación es de adentro hacia afuera : primero se realizan las operaciones que están entre paréntesis , luego los que están entre corchetes y por último las llaves , así : 

Resolver el polinomio  {80 -[3³ + (5² x 2)] + (log2 64 ÷√4 )}

representación en la recta numérica, 4. Valor absoluto de un Z. (Enteros), 5. Polinomios aritméticos en los enteros, 6. Jerarquía de las operaciones

ACTIVIDAD 2:

Escribe en el recuadro vacío la respuesta a cada ejercicio utilizando el símbolo < o > en cada caso. 

1. Ordena en forma creciente los siguientes números. 

2. Ordena en forma decreciente los siguientes números

3. Completa las siguientes oraciones sobre los números enteros.

4. Resuelve las siguientes operaciones de suma de enteros:

a) −5 + 12 = f) 8 + −4 =

b) −18 + 7 = g) −14 + −23 =

c) −9 + −9 = h) −12 + −17 + 21 =

d) 15 + 9 = i) 34 + 45 + −18 + −32 =

e) −12 + −7 = j) 2 + 3 + 11 + −7 + −21 = 

NOTA: Recuerde que la resta se realiza el mayor menos el menor y se coloca el signo del número mayor.

5. Ejercicios de valor absoluto:

a) |2| + |3| = d) |3| − 2 =

b) |−2| + |−3| = e) |−8| + 2 =

c) 8 − |−3| = f) |−4| − |−5| =

d) Si 𝐴 = −32 + 73 + 94 y 𝐵 = −27 + 62 + 31 + 28 − 72, ¿Cuál es el valor de 𝐴 + 𝐵? 

e) Si 𝐴 = −2 − 35 + 24 + −37 y 𝐵 = −9 − 25 + 17 + −32, ¿Cuál es el valor de 𝐴 − 𝐵? 

f) Si el antecesor de 𝐴 es −95 y el sucesor de 𝐵 es −35. ¿Cuál es el valor de 𝐵 − 𝐴?

 h) Un ascensor sube desde el primer piso al quinto piso, baja al segundo, sube al octavo, vuelve al primer piso, sube al sexto y vuelve al primer piso. Si cada piso tiene 3 metros de altura, ¿Cuántos metros recorrió el ascensor? 

i) En un colegio hay 370 mujeres y 510 hombres. Si al final de año se cambian de colegio 18 hombres y 13 mujeres, y se matricularon 12 hombres y 30 mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres habrá el próximo año en el colegio? 

6. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios combinados:

a) 32 − 19 + 43 − 18 + 35 − 53 =                                                     i) 3 ∗ −5 − 6 ∗ 2 + 2 ∗ −1 − 5 ∗ −2 ∗ −1 =

b) 16 + 5 − 26 + 3 − 6 − 14 =                                                           j) (7−5)∗4+3∗(4−2)+(8−2)∗5−2∗(11−10) =

c) −12 − 36 − 8 + 15 − 19 − 20 − 36 + 2 − 1 =                                 k) {15+(9−5)∗2}−{6∗4∗3+(5−4)∗(3−4)}=

d) (15 − 7) + (6 − 1) − (9 − 6) + (19 + 8) − (3 − 1) + (4 + 5) =          l) 8−{5−3∗4+5[8−(6−1)∗3+(2−5)∗−4]} =

e) 52 + [8 − 3 + {4 + 2 − 1}] =                                                       m) −25/−5 − −12 ∗ −3−2 ∗ −5−12/−3−15/3 ∗ 5=

f) 50 − {6 + [(14 − 6) − (7 − 2) + (4 − 1)]} =                                   n) −8∗−8−81∶−9−25∶5− −2 ∗ 3+3 ∗ −7=

g) 12 − {35 + [−18 − (−63 + 50)] − [−37 + (18 + −37)]} =                     

h) 2 ∗ 7 − 5 ∗ 4 + 3 ∗ 6 − 2 ∗ 11 + 13 =   

i) –{24∶−6−[5∗−2−(42∶−6−2∗−3+1)−4]}−2∗−5= 

j) −6∗3−2∗{−15∶3−(20∶5−3∗5−1)−(2∗3−2∗4)}=

 Nota: Recuerda que el símbolo de la división se da como / , o :