Grado 11 - Cálculo

Periodo 3

DBA 7. Usa propiedades y modelos funcionales para analizar situaciones y para establecer relaciones funcionales entre variables que permiten estudiar la variación en situaciones intra escolares y extraescolares 

ESTÁNDAR BÁSICO DE COMPETENCIA: Modela situaciones de variación con funciones polinómicas.

INDICADOR DE DESEMPEÑO: Interpretar el concepto de límite de una función gráficamente y determinar su valor utilizando las diferentes funciones de variable real. 

TEMAS:

1. Limites - 2. Definición formal de limite - 3. Limites laterales - 4. Limites racionales - 

5. Límites de funciones indeterminadas - 6. Límites de funciones trigonométricas

7. Continuidad / Funciones continuas / Continuidad de una función en un punto

8. Discontinuidad

Secuencia numérica: Una secuencia o sucesión numérica es una lista de números. El orden importa: 

Por ejemplo: la secuencia 1, 2, 3 es distinta de la secuencia 2, 3, 1. Una secuencia es infinita si nunca termina. 

Por ejemplo: la secuencia de los números pares positivos, en orden, es infinita: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Podemos describir una secuencia usando una expresión general para su n-ésimo término. 

Por ejemplo: si decimos que a(n) = 3n+1, y comenzamos en n = 1, entonces estamos hablando de esta secuencia: 4, 7, 10, 13, 16. Esta es una secuencia aritmética, en donde la diferencia entre un término y el anterior es constante. 

También podemos representar una secuencia gráficamente como una función: el eje horizontal se usa para n = 1, 2, 3,... y el eje vertical para los valores a(n) de la secuencia.

Por ejemplo: la secuencia infinita 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, … se representa gráficamente como se ve en la gráfica de abajo. Y en fórmulas, se describe así: 

a(n) = 1, si n es impar 

a(n) = n/2, si n es par. 

Si los numeros son n=1,2,3,4,5,... la secuencia quedaría de la siguiente manera:

a(n) = 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5,......... y su gráfica quedaría:

Una secuencia (a(n)) es creciente si se tiene que cada término es mayor o igual que el anterior. Es decir, para n ≥ 1, a(n+1) ≥ a(n). 

Ejercicio 1: 

1. Dibuja en el plano cada secuencia infinita: 

a) 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, … 

b) 5, 5,2 , 5,22 , 5,222 , 5,222, … 

c) La secuencia b dada por b(n) = (−1) 𝑛 .

2. Encuentra una fórmula (o varias, por casos) para cada secuencia: 

a) −1, 4, 11, 20, 31, 40, 59, 76, 95, … 

b) 1, 6, −1, 7, −1, 8, 1, 9, −1, 10, 1, 11, ... 

1. LÍMITES

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. 

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función. 

EJEMPLO 1:

Una técnica para encontrar el verdadero valor de este ejemplo es acercándose al 1 por "valores cercanos": Lo veremos en la siguiente tabla:

A esto nos referimos cuando hablamos de límite. Y se simboliza de la siguiente forma: 

Para el ejemplo que estamos haciendo, la forma matemática de denotarlo sería: 

Vimos la forma tabular de calcular un límite, pero la manera más común de hacerlo es de forma algebraica. Y sería la siguiente: 

En la mayoría de las ocasiones para obtener el resultado de un límite, basta sólo con reemplazar la "X" al valor a cual tiende. Tal como en el siguiente ejemplo: 

EJEMPLO 2:

Pero hay otras veces como en el primer ejemplo, donde al evaluar el límite este se indefine, por lo que en estas ocasiones se debe realizar un procedimiento algebraico (factorizar, simplificar, racionalizar, etc.). Para luego evaluar y encontrar el valor del límite. 

EJEMPLO 3:

En este caso lo más apropiado es racionalizar: 

Para entender un poco más el concepto de límite te invito a observar los siguientes videos:

Ejercicio 2: 

Desarrolla los siguientes problemas:

LÍMITE LATERAL

El concepto de límite lateral es el mismo que el de límite, pero considerando que x se aproxima al punto a por su derecha o por su izquierda. 

EJEMPLO 1:

Consideremos la función f(x)=1/x y que queremos calcular su límite en 0, es decir, 

Cuando x toma valores cercanos a 0 por su derecha, f(x) toma valores positivos grandes: 

Deducimos que el límite de f(x) cuando x tiende a 0 por la derecha es infinito positivo: 

Sin embargo, si x se aproxima por la izquierda de 0, f(x) toma valores muy pequeños: 

Por tanto, el límite de f(x) cuando x tiende a 0 por la izquierda es infinito negativo: 

Has un recorrido de los puntos de la función 1/x en el siguiente enlace:

https://www.geogebra.org/m/SbsYCGxU 

Nota: cuando buscas el límite por la derecha le colocas un + y si es por la izquierda un -

Ejemplo:

EJEMPLO 2:

En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden. Veamos lo siguiente: 

Gráfica:

EJEMPLO 3:

En las funciones definidas a trozos, es habitual que no coincidan los límites laterales en los puntos donde cambia la definición.

Por ejemplo, sea la función

Los límites laterales en 0 son 

Su gráfica es la siguiente:

Ejercicio 3:

1. Calcular los siguientes límites laterales:

Gráfica:

2. Calcular los siguientes límites laterales:

Gráfica:

3. Calcular el siguiente límite:

Gráfica:

4. Calcular el siguiente límite:

Gráfica: