2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Concepto

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas, ej: 

En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones.

A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, X y Y, tiene las siguientes representaciones:

Donde x e y son las incógnitas, y a,b,c,d,e y f son coeficientes reales (ℝ).

Las incógnitas establecidas en un sistema representan el punto donde se intersectan las rectas en un plano cartesiano (x,y).  

Métodos de resolución algebraica para sistemas de ecuaciones

a) MÉTODO DE REDUCCIÓN

Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.

Ejemplo:

Paso 1- Igualaremos una de las incógnitas del sistema. En este caso, nosotros empezaremos igualando la incógnita y. Para ello, multiplico la segunda ecuación por 2, quedando 4x+2y= 28

Paso 2- Ahora, sumamos o restamos (según se requiera) los términos semejantes, para reducir (eliminar) el término con coeficiente común.  

Luego, resuelvo la ecuación, quedando así x=5, ya que:  

Ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Para identificar el otro valor, debemos remplazar en CUALQUIERA de las dos ecuaciones el valor que obtuvimos de x. en este caso escogimos la primera ecuación: 

Por lo tanto, la solución a nuestro sistema de ecuaciones es → S: (5, 4)

Te invito a observar el siguiente video para reforzar el tema:

ACTIVIDAD1:

Resuelve los siguientes ejercicios por el método de reducción

b) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en otra ecuación.

EJEMPLO:

Primero, despejaremos cualquiera de las incógnitas de esta ecuación. Nosotros escogeremos despejar x en la segunda ecuación. Para ello, moveremos todos los términos que no sean x hacia el otro lado de la igualdad. 

Conociendo el valor de x, sustituimos en la otra ecuación: 

Una vez conocemos el valor de la otra incógnita (en este caso, y), sustituimos en la ecuación: 

Solución: (20,14) 

Te invito a observar el siguiente video para reforzar el tema: 

ACTIVIDAD2:

Resuelve los siguientes ejercicios por el método de sustitución

c) MÉTODO IGUALACIÓN

Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando la única variable que queda.

EJEMPLO:  

1. Debemos despejar cualquiera de las incógnitas de la ecuación. En este caso, nosotros optamos por despejar y. 

2. Se igualan las expresiones obtenidas: y = y 

3. Ahora, se resuelve la ecuación resultante, que tiene una incógnita: 

Una vez identificado el valor de "x", remplazamos en cualquiera de las ecuaciones del sistema.  

Solución: (20,10) 

Te invito a observar el siguiente video para reforzar el tema:  

ACTIVIDAD 3:

Resuelve los siguientes ejercicios por el método de igualación:

3. Tipos de sistemas

Existen 3 tipos de sistemas de ecuaciones: Los sistemas equivalentes, los sistemas sin solución o incompatibles, y los sistemas con infinitas soluciones o compatible indeterminado.

a- Sistemas equivalentes

Son aquellos que se caracterizan por tener una única solución a partir de dos incógnitas. En el plano cartesiano, se representan al formarse rectas secantes (solo un punto en la recta).

Por ejemplo:

Realizando las operaciones de suma y resta, se obtiene: 

Remplazando: 

S (2,5)

b- Sistema incompatible:

Son aquellos sistemas en donde no hay ninguna solución posible. En el plano cartesiano, se representan con rectas paralelas (ningún punto).

Ejemplo:

En el ejemplo anterior, podemos observar que dos ecuaciones iguales dan como resultado un número distinto. Esto quiere decir que las ecuaciones no tienen resultados en común, ya que si los tuviese, el resultado de ambas ecuaciones sería el mismo.

En el plano cartesiano, las ecuaciones se representarían de una forma independiente. Se obtienen dos rectas paralelas (no se intersecan). Por lo tanto, el sistema no tiene solución.

c- Sistemas compatible indeterminado:

Son aquellos sistemas en donde existen infinitas soluciones. En el plano cartesiano, se representa con rectas coincidentes (infinitos puntos).

Ejemplo:

En este caso, podemos observar que las ecuaciones de este sistema son exactamente iguales, ya que 2x+2y=6 es lo mismo que x+y=3, pero amplificado por 2. Esto quiere decir, que cualquier punto de la recta es la solución del sistema.

Por lo tanto:

ACTIVIDAD 2.

1. La suma de la edad de dos niños es 4 años. Si la edad del primero sumada al triple de la edad del segundo es 10 años. ¿Qué edad tiene cada niño?

2. Completa las siguientes tablas con valores para cada ecuación.

3. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones:

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial con base "a", es una función de la forma:

Las funciones exponenciales nos sirven para modelar situaciones de la vida real como el incremento de bacterias, la desintegración radioactiva, el enfriamiento de un objeto y más.

En los siguientes ejemplos, nos piden determinar si se trata de funciones exponenciales o no.

Comportamiento de las funciones exponenciales

El comportamiento de las funciones exponenciales, depende del valor de la base "a".

Como podemos ver en la gráfica, la intersección con el eje y, se da en el par ordenado (0,1). Por otro lado, también se aprecia una asíntota, se trata de la recta y = 0.

En una función exponencial de la forma:

Sin mayores restricciones, el dominio y rango se definen de la siguiente manera:

EJEMPLO:

Hallar el dominio y rango para

Establece el denominador en 2/x igual a 0 para obtener el lugar donde no está definida la expresión x=0

El dominio son todos los valores de x que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo: (−∞,0) ∪ (0,∞)

Notación del constructor de conjuntos: {x|x ≠0}

El rango es el conjunto de todos los valores y válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo: (−∞,0)∪(0,∞)

Notación del constructor de conjuntos: {y|y≠0}

Determina el dominio y el rango

Dominio: (−∞,0)∪(0,∞), {x|x≠0}

Rango: (−∞,0)∪(0,∞), {y|y≠0}

Refuerza el tema con el siguiente video:

ACTIVIDAD 3:

Desarrolla los siguientes ejercicios en el cuaderno:

Observemos esta gráfica, la primera función es estrictamente creciente, mientras que la segunda es estrictamente decreciente; además ambas son simétricas respecto al eje Y

EJEMPLO:

1. Construimos una tabla de valores para:

Trazamos la gráfica:

Función exponencial natural

Esta se denota por:

donde e está dado por

Esta notación fue introducida por Leonhard Euler hacia 1730, al descubrir muchas propiedades de este número. El número e es irracional y sus primeras diez cifras decimales son 2,7182818284.....

Propiedades de la función exponencial

Aplicaciones de la función exponencial

Las funciones exponenciales se emplean para modelar una amplia variedad de fenómenos como el crecimiento de poblaciones y las tasas de interés.

Crecimiento y decrecimiento exponencial

La fórmula que se emplea para modelar el crecimiento de una población viene dada por

La función P(t) crece exponencialmente y representa la cantidad de la población a tiempo t; k representa la constante de crecimiento o decrecimiento; si k>0 se llama constante de crecimiento, mientras que si k<0 se llama constante de decrecimiento. P0 representa la población inicial a tiempo cero, esto es, P(0)=P0.

La fórmula anterior se encuentra expresada en función de la exponencial natural, pero en algunas ocasiones se expresa con base a, esto es sencillo de obtener, basta aplicar las propiedades de los exponentes a:

y considerar:

para obtener

Ejemplo:

Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación se tienen 3.500 bacterias y media hora después se tienen 5.489, encuentra:

1. La cantidad de bacterias al cabo de dos horas.

2. La cantidad de bacterias al cabo de tres horas.

3. La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora.

4. El tiempo requerido para duplicar la población inicial.

5. ¿Cuándo llegará la población a ser igual a 15.000?

Para poder responder a lo solicitado, primero necesitamos conocer en la fórmula de crecimiento poblacional con t expresado en minutos:

Notamos que conocemos la población inicial P0=3.500, pero nos falta el valor de la constante de crecimiento. Para encontrar el valor de k utilizamos los datos del problema: P(30)=5.489, en la fórmula de crecimiento

Dividiendo ambos lados por 3.500 y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene:

Así la función que modela el crecimiento de la población de bacterias es:

La población aumenta a la tasa promedio aproximada de 209 bacterias por minuto durante la segunda hora.

4. El tiempo requerido para duplicar la población inicial

Para esto empleamos la siguiente igualdad

Dividiendo ambos lados por 3.500 y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias se duplique es 46,21 minutos.

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a 15.000 ?

Para esto empleamos la siguiente igualdad

Dividiendo ambos lados por 3.500 y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias sea de 15.000 es de 97.02 minutos

Interés compuesto

Se invierte una cantidad inicial P0 de dinero a una tasa de interés r expresada en decimales. Si el interés se capitaliza una sola vez, entonces el saldo a obtener después de sumar el interés P es:

Si el interés se capitaliza más de una vez, el interés que se suma a la cuenta durante un periodo ganará interés durante los periodos siguientes. Si la tasa anual de interés es r y el interés se capitaliza k veces por año, entonces al final de t años, el interés se capitalizó kt veces y el saldo llamado valor futuro es

Ejemplo:

Si se invierten $500 a una tasa de 5% anual. Hallar el valor futuro a 3 años si el interés es compuesto trimestralmente.

Para encontrar el valor futuro después de 3 años si el interés se capitaliza trimestralmente, empleamos:

t=3; P0=500; r=0,05; k=4

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

El saldo obtenido después de 3 años es de $580,38

Interés compuesto continuamente

Para saber el saldo de una inversión al final de t años cuando la frecuencia de capitalización se incrementa sin límite, esto es, el interés no se capitaliza trimestral, ni mensual, ni diariamente, sino continuamente, se emplea la fórmula

Ejemplo:

Si se invierten $500 a una tasa de 5% anual. Hallar el valor futuro a 3 años si el interés es compuesto continuamente.

Para encontrar el valor futuro después de 3 años si el interés se capitaliza continuamente, empleamos

t=3; P0=500; r=0,05

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

El saldo obtenido después de 3 años es de $580,92 y es el límite superior para el saldo posible.

Te invito a observar los siguientes videos:

ACTIVIDAD 4.

1. La población de Nigeria en 1996 era aproximadamente de 104 millones de personas y estaba creciendo a una tasa de 3% anual.

a. Escriba una fórmula que exprese la población de Nigeria en el tiempo t en años.

b. Estime la población de Nigeria para el año 2.010

2. Una compañía está intentando dar a conocer un nuevo producto mediante comerciales de televisión en una ciudad con 3 millones de habitantes. Un modelo para calcular el número de personas que conocen el producto después de t días de iniciada la campaña publicitaria está dado por

a. Calcule el porcentaje de la población que conoce el producto a los 10 días de publicidad.

b. Utilice un programa de cómputo para dibujar la gráfica de la función para 0 <= t <= 120

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Podemos expresar la notación logarítmica de la siguiente forma:

Donde:

• 𝑎 es la base
• 𝑥 es el resultado deseado (también conocido como argumento)
• 𝑦 es la potencia a la que se eleva la base a
  

PROPIEDADES:

EJEMPLO:

Análisis de la función:

Cuando trabajamos funciones logarítmicas, la base del logaritmo debe ser positivo diferente de 1, es decir, podemos tomar cualquier número mayor a 0 menos el 1 como base.

EJEMPLO:

Esto se traduce como:

Gráfica:

Para graficar la función logarítmica debemos completar la tabla. Si tomamos la función:

Luego para graficar dibujamos los puntos en la gráfica y unimos los puntos de la siguiente forma:

Crecimiento o Decrecimiento:

Podemos identificar el crecimiento de la función logarítmica dependiendo del valor de la base que se le anteponga al logaritmo, si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente y si 1 < 𝑎 la función es creciente.

Análisis del gráfico:

¿Qué pasa si sumo o resto 1 a la función? existen dos casos que podemos observar si sumamos 1 dentro del logaritmo o sumarlo fuera del logaritmo.

A. Sumar o restar 1 dentro del logaritmo.

B. Sumar o restar 1 fuera del logaritmo.

Te invito a observar los siguientes videos para reforzar el tema:

ACTIVIDAD 5.

1. Identifica si el gráfico de la función es creciente o decreciente.

2. Grafica las siguientes funciones.

A) Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 + 1) Graficamos los puntos y los unimos con la forma que vimos anteriormente

3. Desarrolla los siguientes problemas:

A. Escoge 3 situaciones de las que aparezcan en la imagen y calcula la intensidad de sonido (W/m2) de cada una. Observa el ejemplo para el refrigerador (40 dB).

B. En general, se recomienda que, al usar audífonos, no se superen los 80 dB. Sin embargo, muchas personas los utilizan cerca de los 100 dB.

• ¿Cuál es la intensidad del sonido de estas magnitudes?

• ¿Cuántas veces mayor es la intensidad de los 100 dB que la recomendada?  

Rúbrica para el periodo

Desacargala en este archivo:

ACUERDO PEDAGÓGICO

Acuerdo que se firma por el representante del grado con las actividades a realizar durante el periodo