Grado 11

Cálculo - Periodo 4

DERIVADAS

DBA 8. Encuentra derivadas de funciones, reconoce sus propiedades y las utiliza para resolver problemas 

ESTÁNDAR BÁSICO: Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos. 

TEMAS:  1.Variación - 2. Variación media de una función - 3. Recta secante - 4. Recta tangente - 5.Derivada de una función - 6. Derivada de una función en un punto - 7. Derivada de una función en un intervalo 

CONOCIMIENTOS PREVIOS: Antes de comenzar el tema debes estar familiarizado con el tipo de gráfica que se forma de acuerdo a su función, acá te dejo algunos gráficos para que recuerdes:

Concepto de Derivada - Pendiente de una recta

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. 

Para afianzar tu conocimiento sobre la definición de derivada observa el siguiente video:

Pendiente de una recta: 

La inclinación de un techo, de una escalera apoyada en una pared, de un camino e incluso de tu trotadora son todos ejemplos de pendiente. La pendiente de una recta mide su inclinación (ya sea negativa o positiva). Si la pendiente aumenta de izquierda a derecha es "positiva" de lo contrario es "negativa".

Pendiente positiva                                         Pendiente negativa

En la pendiente positiva, un auto está comenzando a subir un cerro. La altura del cerro es de 3 metros y su longitud es 4 metros. Utilizando la definición anterior, la pendiente de este cerro puede ser escrita como 3 Mts / 4 Mts o sea 3/4, que es lo mismo 0.75 en decimal o en su defecto 75%. Recapitulando, el cerro tiene una inclinación en subida del 75%.

En la pendiente negativa (el auto está bajando del cerro).  La altura del cerro es de 3 cm y su longitud es 4 cm (Ojo con el sistema métrico). Utilizando la definición anterior, la pendiente de este cerro puede ser escrita como 3 Cms / 4 Cms o sea -3/4, que es lo mismo -0.75 en decimal o en su defecto -75%. Recapitulando, el cerro tiene una inclinación en bajada del 75%.

Ejemplo1. Veamos el siguiente ejemplo de una gráfica lineal positiva

En este caso vamos a utilizar la fórmula de la pendiente que nos dice que, el punto final Y menos el primero (Y2-Y1) sobre el punto final X menos el primero (X2-X1) nos da la pendiente. es decir

Por tanto, la solución es la siguiente:

Quiere decir que por cada 2 casilla que avanzamos en el eje X avanzamos 1 en el eje Y o en su defecto por cada 6 cuadros que avanzamos en el eje X, avanzamos 3 en el eje Y

Ejemplo2. Veamos el siguiente ejemplo de una gráfica lineal negativa

De acuerdo con la fórmula de pendiente nos daría:

Te invito a leer sobre la definición de pendiente de una recta en el siguiente enlace:

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/recta/pendiente-de-una-recta.html 

DERIVADAS DE FUNCIONES NO LINEALES

Los ejemplos reales que maneja tiempo no siempre son lineales y constantes, ya que ningún objeto inicia acelerando con una constante (Ejemplo 20K/H), sino desde cero al igual que cuando termina, ahí es donde entra en juego las derivadas entre 2 puntos con una función determinada (Ver inicio de página - conocimientos previos). Entendamos mejor observando el siguiente video:

Para explicar mejor este concepto vamos a realizar el siguiente cálculo de dos puntos: (a, f(a)) y (x, f(x)), de la siguiente figura:

La recta (A,B) se llama una secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es: 

Dicho número suele llamarse cociente incremental de f en a.

Observa que una secante es una buena aproximación a una tangente, siempre que el punto (x, f (x)) esté próximo a (a, f(a)). Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de f en el punto             (a, f(a))  como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:

  Supuesto, claro está, que dicho límite exista. 

Ahora, vamos a tomar dos puntos sobre la siguiente gráfica:

El primer punto lo vamos a denotar como punto P, cuya abscisa será x y su ordenada f(x)

El segundo punto lo vamos a denotar como punto Q, el cual va a estar a una distancia h del primer punto, su abscisa será x+h y su ordenada f(x+h)

A través de estos dos puntos nosotros podemos trazar una recta secante para luego hallar la pendiente de esta recta secante.

Si te das cuenta la ubicación del punto P es, (x, f(x)) y la de Q es, (x+h, f(x+h)),  por tanto, la tangente será el cociente entre Δy/Δx

Ahora la idea es que h tienda a 0 (pero nunca igual a 0), para que tienda a ser una tangente, por tanto:

Ahora si, la derivada de la función sería:

Observa como la secante pasa a ser una tangente:

https://pormasmatematica.com.ar/wp-content/uploads/2018/08/GIF-ESTUDIO-DE-FUNCI%C3%93N.gif 

Ejemplo 1. Hallar la derivada de la siguiente función cuadrática:

Primer Paso: Tomamos 2 puntos en la recta:

Segundo Paso: Trazamos la secante y hallamos la pendiente:

Como la función es cuadrática reemplazamos en los paréntesis:

Tercer Paso: Desarrollamos la ecuación:

Cancelamos una h, quedando:

Cuarto Paso: Para construir la recta tangente debemos generar el límite que tienda a 0, es decir h tienda a 0

Obsérvalo en el siguiente video:

Y listo....

EJERCICIO 1. Hallar la derivada de la siguiente función CÚBICA encontrando 2 puntos, escribe los resultados en el cuaderno:

REGLAS DE DERIVACIÓN En las funciones siguientes: u, v y w, son funciones derivables de x. 

Ejemplos:

Para repasar más el tema, te invitamos a observar el siguiente video:

Repasa y revisa las derivadas de la siguiente página:

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/ejercicios-de-calculo-de-derivadas-i.html 

DERIVADA DE UNA RAIZ

La derivada de una raíz de grado "n" es igual a la derivada del radicando dividida entre el producto del índice de la raíz por la raíz de grado "n" del radicando elevado a "n-1".

EJEMPLO:

Te invito a observar los siguientes videos sobre el tema:

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Te invito a observar los siguientes videos sobre el tema:

Actividad 2: Realizar las siguientes derivadas polinómicas en el cuaderno:

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Te invito a observar los siguientes videos sobre el tema:

Actividad 3: Realizar las siguientes derivas logarítmicas:

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

SENO

COSENO:

TANGENTE:

COTANGENTE:

SECANTE:

COSECANTE:

DERIVADAS DE LA INVERSA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

NOTA: Estas son las derivadas de las funciones inversas: 

Ejemplo:

ACTIVIDAD 4. Realizar las siguientes derivadas trigonométricas:

ACTIVIDAD 5. Usando las reglas de derivación inversa de las funciones trigonométricas realizar los siguientes ejercicios:

EJERCICIOS DE REPASO:

Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno y preséntalos a tu docente:

Día 1:

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia en tu cuaderno y preséntalos a tu docente:

Día 2:

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz en tu cuaderno y preséntalos a tu docente:

Día 3:

Calcula mediante funciones exponenciales en tu cuaderno y preséntalos a tu docente:

Día 4:

Calcula mediante funciones logarítmicas en tu cuaderno y preséntalos a tu docente:

Día 5:

Calcula mediante funciones trigonométricas en tu cuaderno y preséntalos a tu docente:

Día 6:

Calcula mediante funciones trigonométricas inversas en tu cuaderno y preséntalos a tu docente:

Día 7:

HETEROEVALUACIÓN: La valoración del trabajo desarrollado en la presente guía se realizará de la siguiente forma:

• Saber Hacer (50%): a. Elaboración y entrega de las actividades propuestas.

a. Ejercicios de Prueba.

• Saber (25%): a. Prueba Bimestral

• Ser - Convivir (25%): a. Normas de Convivencia.

b. Responsabilidad y Cumplimiento en la entrega de trabajos.

c. Seguimiento a las instrucciones dadas por el docente.

d. Autoevaluación y Coevaluación.

AUTOEVALUACIÓN Y COEVALUACION: Onceava Semana del Periodo

Transcribir a hojas de block cuadriculado las siguientes tablas, marcar con una X en la casilla de la valoración correspondiente a los siguientes criterios y luego totalizar cada columna. Se debe realizar con la máxima sinceridad:

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSe8K6emBxx7juVipbyPzTOGq_10Rg7a2XDDfxaaipio4DKZTA/viewform?usp=pp_url