FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática esta entre los casos más sencillos de una función definida por una formula cuya gráfica ya no es una recta, sino una curva llamada parábola. Muchos problemas físicos y geométricos se interpretan y estudian mediante el modelo cuadrático. Por ejemplo, la descripción del tiro vertical y la relación entre las medidas de los lados y las áreas de las figuras geométricas.

Una función cuadrática, es una función de segundo grado. Es decir, tiene la forma 

Siendo a ≠ 0

Esta forma de escribir la función cuadrática se llama forma general o polinómica. 

➢ La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola 

➢ Las parábolas tienen forma de U (si a>0) o de ∩ (si a<0). Además: Si 0<|a|<1 la parábola se abre. Si |a|>1 la parábola se cierra ➢ Si c>0 la gráfica se desplaza hacia arriba. Si c<0 la gráfica se desplaza hacia abajo. 

➢ Si a y b tienen el mismo signo, la parábola se desplaza a la izquierda. 

➢ Si a y b tienen distinto signo, la parábola se desplaza a la derecha. 

EJEMPLO:

Te invito a observar el siguiente video sobre funciones cuadráticas para que refuerces el tema que sigue:

Raíces de la función cuadrática. 

Las raíces de la función cuadrática se calculan mediante la fórmula: 

𝑏 2 − 4𝑎𝑐 se lo llama Discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces. 

Si Δ >0 ⇒ Raíces reales distintas 

Si Δ=0 ⇒ Raíces reales e iguales 

Si Δ < 0 ⇒ Raíces no reales 

Distintas expresiones de la función cuadrática 

Tal vez la polinómica y la factorizada ya te son familiares, pero cual es la canónica?

Es la forma en que se expresa la función y que me ayuda a hallar la punta del vértice de la parábola o de dicha función.

Para comprenderlo, observa el siguiente video:

La forma canónica de una función cuadrática, también conocida como forma vértice o normal, es un modo de escribir su ecuación en el cual aparecen explícitamente las coordenadas del vértice. Dada una función cuadrática f(x) = ax² + bx + c con vértice V(h, k), su forma canónica es: 

EJEMPLO:

Las siguientes funciones cuadráticas están escritas en su forma canónica: 

¿Cómo hallar la forma canónica?

Nótese que la suma de los números en rojo es igual a cero, pero su introducción permite construir un binomio al cuadrado porque según la fórmula cuadrática: 

Siguiendo el despeje de la función:

Desarrollamos esta operación de fraccionarios

Gráfico de la parábola 

Para realizar el gráfico de una parábola 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla. 

• Raíces de la parábola. Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que 𝑓(𝑥) = 0 

Ejemplo: 

Represente la función f(x), teniendo en cuenta los elementos de la parábola. 

ACTIVIDAD 8:

1. Completa la siguiente tabla en el cuaderno:

2. Marque las opciones correctas

3. Observen los gráficos y completen

4. Realice el gráfico aproximado de las siguientes funciones y escriba los datos indicados para cada caso. 

FUNCIÓN CÚBICA

Es generalmente utilizada para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo. Otro ejemplo es el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semana de gestación del feto. También el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en el campo de la economía y de la física.

La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: 

Donde a ≠ 0  -  a, b, c y d ℇ R 

Un ejemplo de función cúbica es: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica. 

Propiedades

• El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)
• El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.
• La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
• La función es continua en todo su dominio.
• La función es siempre creciente.
• La función no tiene asíntotas.
• La función tiene un punto de corte con el eje Y.
• La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.
• "a" es el coeficiente principal; mientras que "d" es el término independiente.

Ejemplos

1. Grafique y analice las propiedades de las siguientes funciones y encuentra los ceros de la función

En la primera parte factorizamos:

Para la función:

Hacemos X=0 y ya tenemos los 3 ceros de la función:

X1=-1,8

X2=0

X3=3,3

Y su gráfica es la siguiente:

2. Verifica los coeficientes de estos ejemplos y analiza si es una función cúbica o no.

3. Haye los ceros de la función:

En esta función no tenemos factor común, ni binomio al cuadrado, pero podemos emplear el método de Ruffini visto en el grado 9:

Ya tenemos el primer factor x+1=0; por lo tanto x=-1 ahora hallamos el segundo de:

Buscamos dos números que multiplicados me den 8 y sumados 6, estos dos números son 4 y 2

x+4=0    x=-4      x+2=0   x=-2

Por tanto los ceros de la función son:

X1=-1

X2=-4

X3=-2

Pasos para graficar una función cúbica

Para graficar una función cúbica, hay que seguir estos pasos:

1. Establecer el comportamiento de la función.
2. Encontrar los ceros (intersecciones con el eje X).
3. Encontrar el signo con puntos de prueba (tabulación para saber si el punto está arriba o debajo del eje).
4. Graficar.

Para mayor comprensión del tema te invito a observar el siguiente video:

ACTIVIDAD 9:

Desarrolla los siguientes ejercicios en el cuaderno:

Como podemos ver en la gráfica, la intersección con el eje y, se da en el par ordenado (0,1). Por otro lado, también se aprecia una asíntota, se trata de la recta y = 0.

En una función exponencial de la forma:

  Sin mayores restricciones, el dominio y rango se definen de la siguiente manera:

EJEMPLO:

Hallar el dominio y rango para

Establece el denominador en 2/x igual a 0 para obtener el lugar donde no está definida la expresión x=0 

El dominio son todos los valores de x que hacen que la expresión sea definida. 

Notación de intervalo: (−∞,0) ∪ (0,∞)

Notación del constructor de conjuntos: {x|x ≠0} 

El rango es el conjunto de todos los valores y válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo: (−∞,0)∪(0,∞)

Notación del constructor de conjuntos: {y|y≠0} 

Determina el dominio y el rango

Dominio: (−∞,0)∪(0,∞), {x|x≠0}

Rango: (−∞,0)∪(0,∞), {y|y≠0}

Refuerza el tema con el siguiente video:

ACTIVIDAD 10:

Desarrolla los siguientes ejercicios en el cuaderno:

Observemos esta gráfica, la primera función es estrictamente creciente, mientras que la segunda es estrictamente decreciente; además ambas son simétricas respecto al eje Y 

EJEMPLO:

1. Construimos una tabla de valores para:

Trazamos la gráfica:

Función exponencial natural

Esta se denota por:

  donde e está dado por

Esta notación fue introducida por Leonhard Euler hacia 1730, al descubrir muchas propiedades de este número. El número e es irracional y sus primeras diez cifras decimales son  2,7182818284.....

Propiedades de la función exponencial

Aplicaciones de la función exponencial

Las funciones exponenciales se emplean para modelar una amplia variedad de fenómenos como el crecimiento de poblaciones y las tasas de interés.

Crecimiento y decrecimiento exponencial

La fórmula que se emplea para modelar el crecimiento de una población viene dada por

La función P(t) crece exponencialmente y representa la cantidad de la población a tiempo t; k representa la constante de crecimiento o decrecimiento; si k>0 se llama constante de crecimiento, mientras que si k<0 se llama constante de decrecimiento. P0 representa la población inicial a tiempo cero, esto es, P(0)=P0. 

La fórmula anterior se encuentra expresada en función de la exponencial natural, pero en algunas ocasiones se expresa con base a, esto es sencillo de obtener, basta aplicar las propiedades de los exponentes a:

  y considerar:

  para obtener 

Ejemplo: 

Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación se tienen 3.500 bacterias y media hora después se tienen 5.489, encuentra:

1. La cantidad de bacterias al cabo de dos horas.

2. La cantidad de bacterias al cabo de tres horas.

3. La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora.

4. El tiempo requerido para duplicar la población inicial.

5. ¿Cuándo llegará la población a ser igual a 15.000?

Para poder responder a lo solicitado, primero necesitamos conocer en la fórmula de crecimiento poblacional con t expresado en minutos:

Notamos que conocemos la población inicial P0=3.500, pero nos falta el valor de la constante de crecimiento. Para encontrar el valor de k utilizamos los datos del problema: P(30)=5.489,  en la fórmula de crecimiento 

Dividiendo ambos lados por 3.500 y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene:

Así la función que modela el crecimiento de la población de bacterias es: 

La población aumenta a la tasa promedio aproximada de 209 bacterias por minuto durante la segunda hora.

4. El tiempo requerido para duplicar la población inicial

Para esto empleamos la siguiente igualdad

Dividiendo ambos lados por 3.500  y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene 

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias se duplique es 46,21 minutos.

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a 15.000 ?

Para esto empleamos la siguiente igualdad

Dividiendo ambos lados por 3.500 y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias sea de 15.000 es de 97.02 minutos 

Interés compuesto

Se invierte una cantidad inicial P0 de dinero a una tasa de interés r expresada en decimales. Si el interés se capitaliza una sola vez, entonces el saldo a obtener después de sumar el interés P es:

Si el interés se capitaliza más de una vez, el interés que se suma a la cuenta durante un periodo ganará interés durante los periodos siguientes. Si la tasa anual de interés es r  y el interés se capitaliza k veces por año, entonces al final de t años, el interés se capitalizó kt veces y el saldo llamado valor futuro es 

Ejemplo: 

Si se invierten $500 a una tasa de 5% anual. Hallar el valor futuro a 3 años si el interés es compuesto trimestralmente.

Para encontrar el valor futuro después de 3 años si el interés se capitaliza trimestralmente, empleamos:

t=3;  P0=500;  r=0,05;  k=4

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

El saldo obtenido después de 3 años es de $580,38

Interés compuesto continuamente

Para saber el saldo de una inversión al final de t años cuando la frecuencia de capitalización se incrementa sin límite, esto es, el interés no se capitaliza trimestral, ni mensual, ni diariamente, sino continuamente, se emplea la fórmula

Ejemplo: 

Si se invierten $500 a una tasa de 5% anual. Hallar el valor futuro a 3 años si el interés es compuesto continuamente.

Para encontrar el valor futuro después de 3 años si el interés se capitaliza continuamente, empleamos

t=3; P0=500; r=0,05

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

El saldo obtenido después de 3 años es de $580,92 y es el límite superior para el saldo posible.

Te invito a observar los siguientes videos:

ACTIVIDAD 11.

1. La población de Nigeria en 1996 era aproximadamente de 104 millones de personas y estaba creciendo a una tasa de 3% anual. 

a. Escriba una fórmula que exprese la población de Nigeria en el tiempo t en años. 

b. Estime la población de Nigeria para el año 2.010 

2. Una compañía está intentando dar a conocer un nuevo producto mediante comerciales de televisión en una ciudad con 3 millones de habitantes. Un modelo para calcular el número de personas que conocen el producto después de t días de iniciada la campaña publicitaria está dado por

a. Calcule el porcentaje de la población que conoce el producto a los 10 días de publicidad. 

b. Utilice un programa de cómputo para dibujar la gráfica de la función para 0 <= t <= 120  

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Podemos expresar la notación logarítmica de la siguiente forma:

Donde: 

● 𝑎 es la base 

● 𝑥 es el resultado deseado (también conocido como argumento) 

● 𝑦 es la potencia a la que se eleva la base a

PROPIEDADES:

EJEMPLO:

Análisis de la función:

Cuando trabajamos funciones logarítmicas, la base del logaritmo debe ser positivo diferente de 1, es decir, podemos tomar cualquier número mayor a 0 menos el 1 como base. 

EJEMPLO:

Esto se traduce como: 

Gráfica:

Para graficar la función logarítmica debemos completar la tabla. Si tomamos la función: 

Luego para graficar dibujamos los puntos en la gráfica y unimos los puntos de la siguiente forma: 

Crecimiento o Decrecimiento:

Podemos identificar el crecimiento de la función logarítmica dependiendo del valor de la base que se le anteponga al logaritmo, si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente y si 1 < 𝑎 la función es creciente. 

Análisis del gráfico:

¿Qué pasa si sumo o resto 1 a la función? existen dos casos que podemos observar si sumamos 1 dentro del logaritmo o sumarlo fuera del logaritmo. 

A. Sumar o restar 1 dentro del logaritmo. 

B. Sumar o restar 1 fuera del logaritmo. 

Te invito a observar los siguientes videos para reforzar el tema:

ACTIVIDAD 12.

1. Identifica si el gráfico de la función es creciente o decreciente. 

2. Grafica las siguientes funciones. 

A) Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 + 1) Graficamos los puntos y los unimos con la forma que vimos anteriormente

3. Desarrolla los siguientes problemas:

A. Escoge 3 situaciones de las que aparezcan en la imagen y calcula la intensidad de sonido (W/m2) de cada una. Observa el ejemplo para el refrigerador (40 dB).

B. En general, se recomienda que, al usar audífonos, no se superen los 80 dB. Sin embargo, muchas personas los utilizan cerca de los 100 dB. 

• ¿Cuál es la intensidad del sonido de estas magnitudes?  

• ¿Cuántas veces mayor es la intensidad de los 100 dB que la recomendada?  

Rúbrica para el periodo

Desacargala en este archivo:

ACUERDO PEDAGÓGICO

Acuerdo que se firma por el representante del grado con las actividades a realizar durante el periodo