Función Seno - Coseno

La función seno es una función periódica que es muy importante en trigonometría.

La forma más simple de entender la función seno es usar la unidad círculo. Para una medida de ángulo dado θ , dibuje una unidad círculo en el plano coordenado y dibuje el ángulo centrado al origen, con un lado en el eje positivo de las X . La coordenada en Y del punto donde el otro lado del ángulo intersecta al círculo es sin θ , y la coordenada en x es cos θ .

Ejemplo: Para que entiendas lo que acabo de decir voy a darte el siguiente ejemplo:

Hallar el seno y coseno de 30°

Nos damos cuenta que el seno de 30° es 0,8 que se ubica sobre el eje de las Y y el coseno de 30 es 0,86 que se ubica sobre el eje de las X, el radio es unitario es decir igual a 1.

Nota: las funciones trigonométricas se trabajan en radianes ya que sus resultados son datos de los números reales y no en grados, se toma acá en grados para una mayor comprensión de los ejercicios.

El dominio de la función y=sen X, son todos los números reales. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función. Nótese que los valores del dominio (x) están expresado en radianes y son ángulos especiales del I y II cuadrante de tal forma que los valores correspondientes de la imagen (y) son fáciles de calcular:

Ejercicio2: La mitad del grado va a dibujar la función seno en papel milimetrado, para realizar el ejercicio debes tener los siguientes elementos: Papel milimetrado, regla, transportador, curvígrafo, lápiz y borrador. La otra mitad del salón dibuja la función coseno, debe ser comparado en pareja el resultado y luego entregado al docente para su respectiva nota.

Para su elaboración vamos a observar el siguiente video:

Acá te doy una pequeña ayuda:

ELEMENTOS DE ANALISIS:

1. DOMINIO: el dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable (x) en el caso de la función F(x) = seno (x), es el conjunto de valores que toma el ángulo, es decir, el conjunto de números reales (R), ya que al ángulo se le puede dar cualquier valor real. 

2. CODOMINIO: Son los valores de sen (x) que están en el intervalo [-1,1] 

3. PUNTOS MAXIMOS: el punto máximo es la cresta más alta de una función, en el seno se encuentra en (π/2, 1) 

4. PUNTOS MINIMOS: el punto mínimo es la cresta más baja de una función, en el ejemplo del seno se encuentra en (3π/2, -1) 

5. CEROS DE LA FUNCION: Se encuentran cuando en la función da 0, es decir cuando toca el eje x, para el ejemplo seno(x) = 0 da cero en: x=0, y=π,2π 

6. MONOTONIA: Intervalos donde crece o decrece la función; para nuestro ejemplo (función seno) es creciente en los intervalos [0, π/2] y [3/2π, 2π] Decrece en el intervalo [π/2, 3π/2]. 

7. SIMETRIA: La función f(x) = sen (x) es impar significa que sen (-x) = -sen (x). Es decir que su grafica no se altera luego de una rotación de π rad = 180°. 

Ej: sen (-30)=-0.5      -sen(30)=-0.5

Es una función simétrica respecto del origen, esto significa que se refleja a lado del origen, como consecuencia por ser impar. 

8. PERIODO: Es el valor de X a partir del cual se repiten los valores de f(x), en el caso de seno (x) el periodo es 2π es decir 360°. 

9. CONTINUIDAD: Se refiere a que todos los valores del domino tienen una imagen en el codominio, por lo tanto, la gráfica no presenta rupturas ni huecos, es decir, es una línea continua. 

10. AMPLITUD: es la distancia vertical entre el eje x y el punto máximo de la función (y), en el caso de f(x) = sen (x) la amplitud es 1. Para determinar la amplitud de cualquier función se halla con la fórmula A = (valor máximo – valor mínimo) / 2

Ejercicio 3: Observe la gráfica que construyo usted o sus compañeros y complete los siguientes enunciados respecto de la función f(x) = Cos x

a. DOMINIO: 

b. CODOMINIO: 

c. PUNTOS MAXIMOS: 

d. PUNTOS MINIMOS: 

e. CEROS DE LA FUNCION: 

f. MONOTONIA: 

g. SIMETRÍA

h. PERIODO:

i. CONTINUIDAD:

j. AMPLITUD:

Función Tangente - Cotangente

Función Tangente:

ANALISIS DE LA GRAFICA:

1. DOMINIO: Números reales menos los múltiplos impares de π/2 es decir, R – { (2n+1) π/2 

2. CODOMINIO: Los números reales R 

3. La función F(x) = tg x no tiene valores máximos ni mínimos, es decir no es acotada. 

4. Los ceros de la función tg (x) se presentan en 0,π,2π. 

5. La función tg(x) es una función periódica y su periodo es π, ya que después de se repiten sus valores. 

6. La función tg (x) es una función impar pues se cumple tg(-X) = -tg(X) 

7. Es una función discontinua ya que no está definida ND en π/2,3π/2 

8. Presenta asíntotas verticales en todos los múltiplos de π/2 (Una asíntota es una recta que pasa por el punto donde se rompe la gráfica) 

9. MONOTONIA: la función tg(X) es estrictamente creciente en todo su dominio.

Función cotangente:

Ejercicio 4:

1. Bajo las mismas consideraciones, utilizando los mismos ángulos de la tabla anterior, realice la tabla para y = Ctg (X) . 

2. A partir de la tabla anterior construya la gráfica de Y = Ctg (X) 

3. Analice la gráfica siguiendo el orden utilizado en la gráfica de tg(X) 

4. Utilice las gráficas de las funciones tangente y cotangente para hallar los valores que hacen verdaderas las siguientes igualdades 

a. tg (X) = 1 entonces X =_____________ 

b. tg(X) = 0 entonces X =_____________ 

c. tg(X) = √3 entonces X =_____________ 

d. Ctg(X) =-1 entonces X =_____________ 

e. Ctg(X) = 1 entonces X =_____________

f. Ctg(X)= 3/√3 entonces X =_____________ 

g. Tg(X) = ND entonces X =_____________ 

h. Ctg(X) =ND entonces X =_____________ 

5. Determine los signos de la función F(X) = Ctg (X) en los cuatro cuadrantes. 

6. ¿Qué sucede con la gráfica de la función tangente cuando el valor de coseno es cero? 

7. ¿Qué sucede con la gráfica de la función Cotangente cuando el valor de seno es cero? 

8. ¿Qué sucede con la gráfica de la función tangente cuando el valor de seno es cero? 

9. ¿Qué sucede con la gráfica de la función Cotangente cuando el valor de coseno es cero? 

10. ¿Por qué la función cotangente tiene periodo π, si las funciones seno y coseno tienen periodo 2π? 

Función Secante - Cosecante

Función secante:

Ejercicio 5:

1. Construya la tabla, la gráfica y efectué el análisis de la función F(X) = Sec (X)

2. A partir de la gráfica de la función cosecante en el intervalo (-π, π), halle los valores de X que hacen verdaderas las siguientes igualdades. 

a. Cesc X = 1 entonces X = _____________ 

b. Csc X = -1 entonces X = _____________ 

c. Csc X = √2 entonces X = _____________ 

d. Csc X = ND entonces X = _____________ 

e. Csc X < 0 entonces X = _____________ 

3. A partir de la gráfica de la función Secante en el intervalo (-π, π), halle los valores de X que hacen verdaderas las siguientes igualdades. 

a. Sec X = 1 entonces X = _____________ 

b. Sec X = -1 entonces X = _____________ 

c. Sec X = √2 entonces X = _____________ 

d. Sec X = ND entonces X = _____________ 

e. Sec X < 0 entonces X = _____________ 

4. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Justifique su respuesta. 

a. Dominio de F(X) = Csc X es R 

b. Dominio de Y= Sec (X) es R 

c. La ecuación Sec (X) = 0 no tiene solución 

d. La ecuación Csc (X) = 0 no tiene solución 

e. La ecuación CSc (X) = 1 no tiene solución 

f. El signo de la función F(X) = Sec X depende del signo de la función seno en cada cuadrante 

Función cosecante:

Ejercicio 6:

COMPLETE EL ANALISIS:

1. DOMINIO: R – {nπ} 

2. CODOMINO: ____________ 

3. MONOTONIA_____________________ 

4. CEROS DE LA FUNCION_____________ 

5. PERIODO________________________ 

6. La función F(X) = Csc(X) es impar porque__________________ 

7. La función F(X) = Csc(X) no es acotada porque_____________ 

8. Las asíntotas de la función están en X= 0, π,2π…porque__________________